Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition

Isolierte lokale Extrema

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt  ${}x\in M$  ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)>f(x')\,$

gilt. Man sagt, dass ${}f$ in  ${}x\in M$  ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein  ${}\epsilon >0$  derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

${}f(x)<f(x')\,$

gilt.