Funktion/Zweifache äußere Ableitung/0/Fakt/Beweis

Beweis

Für eine ${}1$-Form ${}\omega =\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ ist unter Verwendung von ${}dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$

${}{\begin{aligned}d\omega &=\sum _{j=1}^{n}d(g_{j}dx_{j})\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}dx_{i}\wedge dx_{j}\right)}\\&=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial g_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}.\end{aligned}}$

Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ${}f$ ist ${}df=\sum _{j=1}^{n}g_{j}dx_{j}$ mit den partiellen Ableitungen ${}g_{j}={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$, und daher ist ${}d(df)=0$ nach dem Satz von Schwarz.

Zur bewiesenen Aussage