Funktion in mehreren Variablen/Produkt/Taylor-Polynom vom Grad 2/Nicht Produkt der Linearformen/Aufgabe/Kommentar

Möchte man ein Gegenbeispiel zu einer Aussage finden, so ist es sinnvoll an eine möglichst einfach Situation zu denken. In diesem Fall können wir uns beispielsweise fragen, ob die Aussage für Funktionen in einer Variablen gilt. Falls dies nicht der Fall ist, so kann die Aussage erst recht nicht für Funktionen in mehrenen Variablen gelten.

Wir können die Situation noch viel weiter vereinfachen, indem wir sehr spezielle Funktionen ${}f,g$ wählen. Hier bietet es sich an, anzunehmen, dass ${}f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$ und ${}g(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}$ bereits selbst Polynome vom Grad ${}2$ in einer Variablen sind. Die Taylor-Polynome im Punkt ${}0$ vom Grad ${}\leq 1$ lassen sich daran direkt ablesen als ${}a_{0}+a_{1}x$ und ${}b_{0}+b_{1}x$.

Außerdem ergibt sich, dass das Taylor-Polynom vom Produkt ${}f(x)\cdot g(x)$ vom Grad ${}\leq 2$ genau

$a_{0}b_{0}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+(a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2})x^{2}$

ist. Dieser Ausdruck stimmt offenbar nicht mit dem Produkt der beiden Taylor-Polynome vom Grad ${}\leq 1$

$(a_{0}+a_{1}x)(b_{0}+b_{1}x)=a_{0}b_{0}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+a_{1}b_{1}x^{2}$

überein, falls wir die Koeffizienten geeignet wählen.

Dieses Beispiel veranschaulicht aber sehr schön, dass die beiden Ausdrücke bis zum Grad ${}\leq 1$ übereinstimmen und sich erst im Grad ${}2$ unterscheiden. Diese Beobachtung gilt auch allgemeiner: Falls wir die Taylor-Polynome bis zum Grad ${}\leq k$ von Funktionen ${}f$ und ${}g$ kennen, so können wir aus dem Produkt dieser Polynome das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq k$ der Funktion ${}fg$ bestimmen. Diese Aussage soll in Aufgabe gezeigt werden.

Zur kommentierten Aufgabe