Funktion in mehreren Variablen/Produkt/Taylor-Polynom durch Gradabschneiden/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}G\subseteq V$ offen, ${}P\in G$ und seien

$f,g\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei ${}k$-mal stetig differenzierbare Funktionen mit den Taylor-Polynomen ${}T_{k}(f)$ und ${}T_{k}(g)$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$. Zeige, dass das Produkt ${}fg$ ebenfalls ${}k$-mal stetig differenzierbar ist, und dass für das Taylor-Polynom ${}T_{k}(fg)$ von ${}fg$ in ${}P$ vom Grad ${}\leq k$ die Beziehung

${}T_{k}(fg)=(T_{k}(f)\cdot T_{k}(g))_{\leq k}\,$

besteht, wobei der Subskript ${}{\leq k}$ bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad ${}k$ genommen wird.

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