Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element liegt eine Erweiterung der Form

${}L=k(X_{1},\ldots ,X_{d})[T]/(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\,$

mit ${}f_{i}\in k(X_{1},\ldots ,X_{d})$ vor. Die beschreibende Gleichung führt in ${}\Omega _{L{|}k}$ zur Gleichung

${}{\begin{aligned}0&=d(T^{n}+f_{n-1}T^{n-1}+\cdots +f_{1}T+f_{0})\\&=nT^{n-1}dT+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +f_{1}dT+Tdf_{1}+df_{0}\\&=(nT^{n-1}+(n-1)f_{n-1}T^{n-2}+\cdots +2f_{2}T+f_{1})dT+T^{n-1}df_{n-1}+\cdots +Tdf_{1}+df_{0}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}jf_{j}T^{j-1}\right)}dT+\sum _{j=0}^{n-1}T^{j}df_{j}.\end{aligned}}$

Dabei sind die ${}df_{j}$ als Kombination der ${}dX_{i}$ auszudrücken. Der Koeffizient vor ${}dT$ ist wegen der Separabilität nicht ${}0$ und somit kann man ${}dT$ als ${}L$-Linearkombination der ${}dX_{i}$ ausdrücken. Insbsondere ist

${}\Omega _{L{|}k}=\bigoplus _{i=1}^{d}LdX_{i}\,.$

Es folgt, dass die partiellen Ableitungen ${}\partial _{X_{i}}$ eine eindeutige Fortsetzung haben, und zwar wird jedes ${}g\in L$ auf die Koeffizientenfunktion zu ${}dg$ bezüglich ${}dX_{i}$ abgebildet.

Eine Hintereinanderschaltung ${}\partial ^{\nu }$ wird dann durch die Hintereinanderschaltung der einzelnen Fortsetzungungen fortgesetzt. Die Fortsetzbarkeit gilt dann auch für Multiplikationen mit Elementen und für Summen.

Zur bewiesenen Aussage