Funktionenkörper/Rationale Abbildung/Grad/Maximum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir geben einen geometrischen Beweis und können annehmen, dass ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir betrachten die zugehörige rationale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,x\longmapsto f(x),$

die außerhalb der Nullstellen von ${}h$ definiert ist. Es geht nach Fakt um die Anzahl der Fasern dieser Abbildung. Zu ${}a\in K$ ist die Faser durch ${}{\left\{x\in K\mid {\frac {g(x)}{h(x)}}=a\right\}}$ bzw. durch ${}{\left\{x\in K\mid g(x)-ah(x)\right\}}=0$ charakterisiert. Dies ist (eventuell mit einzelnen Ausnahmen für ${}a$) eine polynomiale Bedingung für ${}x$, deren Grad das Maximum der Grade von ${}g$ und ${}h$ ist.

Zur bewiesenen Aussage