Funktionenkörper/Rationale Abbildung/Grad/Maximum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir geben einen geometrischen Beweis und können annehmen, dass $K$ algebraisch abgeschlossen ist. Wir betrachten die zugehörige rationale Abbildung

${𝔸}_K^1⟶{𝔸}_K^1,x⟼f(x),$

die außerhalb der Nullstellen von $h$ definiert ist. Es geht nach Fakt um die Anzahl der Fasern dieser Abbildung. Zu  $a\in K$  ist die Faser durch $\{x\in K\mid \frac{g(x)}{h(x)}=a\}$ bzw. durch $\{x\in K\mid g(x)-ah(x)\}=0$ charakterisiert. Dies ist (eventuell mit einzelnen Ausnahmen für $a$) eine polynomiale Bedingung für $x$, deren Grad das Maximum der Grade von $g$ und $h$ ist.

Zur bewiesenen Aussage