Funktionenkörper/n/Allgemeine lineare Gruppe/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ der rationale Funktionenkörper in ${}n$ Variablen. Wir knüpfen an Beispiel an.

1. Zeige, dass es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$

2. Zeige, dass dieser nicht surjektiv ist.
3. Es sei nun zusätzlich vorausgesetzt, dass der Körper ${}K$ die Charakteristik ${}0$ habe. Zeige für den Fixkörper die Gleichheit

   ${}L^{\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}=K\,.$

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