Polynomalgebra/Linearer Automorphismus/Algebraautomorphismus/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$ in ${}n$ Variablen. Es sei

$\alpha \colon K^{n}\longrightarrow K^{n}$

ein linearer Automorphismus, der durch eine invertierbare Matrix

${}\alpha =(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\,$

gegeben ist. Wir definieren dazu direkt einen ${}K$-Algebraautomorphismus, nämlich den durch

$X_{i}\longmapsto a_{i1}X_{1}+\cdots +a_{in}X_{n}$

definierten Einsetzungshomomorphismus (in mehreren Variablen), den wir mit ${}\varphi _{\alpha }$ bezeichnen. Dabei handelt es sich in der Tat um einen Algebraautomorphismus: Der inverse lineare Automorphismus ${}\alpha ^{-1}$ definiert in der gleichen Weise einen Algebrahomomorphismus ${}\varphi _{\alpha ^{-1}}$, und es gilt ${}\varphi _{\alpha ^{-1}}\circ \varphi _{\alpha }=\operatorname {Id}$, da diese Hintereinanderschaltung jede Variable auf sich selbst abbildet.