Funktionenring/Disjunkte Zerlegung/Produktring/Aufgabe

Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung

$X=U\uplus V$

aus offenen Teilmengen  $U,V\subseteq X$.  Zeige, dass die natürliche Abbildung

$C(X,ℝ)⟶C(U,ℝ)\times C(V,ℝ),f⟼(f{|}_U,f{|}_V),$

bijektiv ist.

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