Funktionenring/Disjunkte Zerlegung/Produktring/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer disjunkten Zerlegung

${}X=U\uplus V\,$

aus offenen Teilmengen ${}U,V\subseteq X$. Zeige, dass die natürliche Abbildung

$C(X,\mathbb {R} )\longrightarrow C(U,\mathbb {R} )\times C(V,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto (f\vert _{U},f\vert _{V}),$

bijektiv ist.

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