Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung

   $\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},$

   die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

   ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$

   besteht.
2. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
   1. Es gibt eine stetige Fortsetzung

      ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

      von ${}f$.

   2. Der Betrag von ${}f$ ist in einer offenen Umgebung von ${}P$ beschränkt.
   3. Es ist

      ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow P}\,(z-P)f(z)=0\,.$

   4. Es gibt eine holomorphe Fortsetzung

      ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

      von ${}f$.

3. Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von ${}\wp$ und ${}\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in ${}\wp$ und ${}\wp '$ schreiben.

Zur gelösten Aufgabe