Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung

   ${\mathrm{GL}}_2\left(ℂ\right)⟶\mathrm{Rat}(ℂ,ℂ),\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)⟼(z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}),$

   die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

   ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen $\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)$ mit  $s\ne 0$ 

   besteht.
2. Es sei  $G\subseteq ℂ$  offen,  $P\in G$  ein Punkt und $f:G\setminus \{P\}\to ℂ$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
   1. Es gibt eine stetige Fortsetzung

      $\tilde{f}:G⟶ℂ$

      von $f$.

   2. Der Betrag von $f$ ist in einer offenen Umgebung von $P$ beschränkt.
   3. Es ist

      ${\lim }_{z\to P}(z-P)f(z)=0.$

   4. Es gibt eine holomorphe Fortsetzung

      $\tilde{f}:G⟶ℂ$

      von $f$.

3. Es sei  $\mathrm{\Gamma }\subseteq ℂ$  ein Gitter. Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in $\mathrm{\wp }$ und ${\mathrm{\wp }}^{\prime }$ schreiben.

Zur gelösten Aufgabe