Galoisgruppe und Fixkörper/Einfache Korrespondenzeigenschaften/Fakt

Es sei $L$ ein Körper und  $G=\mathrm{Aut}L$  die Automorphismengruppe von $L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Für Untergruppen  $H_1\subseteq H_2\subseteq G$  ist  $\mathrm{Fix}(H_1)\supseteq \mathrm{Fix}(H_2)$. 
2. Für Unterkörper  $M_1\subseteq M_2\subseteq L$  ist  $\mathrm{Gal}(L/M_1)\supseteq \mathrm{Gal}(L/M_2)$. 
3. Für eine Untergruppe  $H\subseteq G$  ist  $H\subseteq \mathrm{Gal}(L/\mathrm{Fix}(H))$. 
4. Für einen Unterkörper  $M\subseteq L$  ist  $M\subseteq \mathrm{Fix}(\mathrm{Gal}(L/M))$. 

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