Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei  $a+d\ge b+c$  und seien  $(a,b)\sim (a^{\prime },b^{\prime })$  und  $(c,d)\sim (c^{\prime },d^{\prime })$,  also  $a+b^{\prime }=a^{\prime }+b$  und  $c+d^{\prime }=c^{\prime }+d$.  Es ist

$\begin{array}{cc}{a}^{\prime }+d^{\prime }+(c^{\prime }+d+a+b^{\prime })& =a+d+a^{\prime }+c^{\prime }+d^{\prime }+b^{\prime }\\ & \ge b+c+a^{\prime }+c^{\prime }+d^{\prime }+b^{\prime }\\ & =b^{\prime }+c^{\prime }+(c+d^{\prime }+a^{\prime }+b).\end{array}$

Da die Ausdrücke in den Klammern nach Voraussetzung übereinstimmen, folgt nach der Abziehregel für die Ordnung auf $\mathbb{N}$ auch

$a^{\prime }+d^{\prime }\ge b^{\prime }+c^{\prime },$

also die Wohldefiniertheit. Dass die Ordnung total ist, folgt unmittelbar aus der Definition und der entsprechenden Eigenschaft der Ordnung von $\mathbb{N}$. Die Reflexivität ist unmittelbar klar, die Antisymmetrie folgt direkt aus der Definition der Gleichheit auf $\mathbb{Z}$. Zum Nachweis der Transitivität sei

$[(a,b)]\ge [(c,d)]\ge [(e,f)],$

also  $a+d\ge b+c$  und  $c+f\ge d+e$.  Durch Addition mit $f$ bzw. mit $b$ erhält man

$a+d+f\ge b+c+f\ge b+d+e,$

woraus  $a+f\ge b+e$  folgt, also  $[(a,b)]\ge [(e,f)]$. 

Zur bewiesenen Aussage