Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt/Beweis

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Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei und seien und , also und . Es ist

Da die Ausdrücke in den Klammern nach Voraussetzung übereinstimmen, folgt nach der Abziehregel für die Ordnung auf auch

also die Wohldefiniertheit. Dass die Ordnung total ist, folgt unmittelbar aus der Definition und der entsprechenden Eigenschaft der Ordnung von . Die Reflexivität ist unmittelbar klar, die Antisymmetrie folgt direkt aus der Definition der Gleichheit auf . Zum Nachweis der Transitivität sei

also und . Durch Addition mit bzw. mit erhält man

woraus folgt, also .