Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt

Das Äquivalenzklassenmodell von $\mathbb{Z}$ ist mit der Addition

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)],$

der Multiplikation

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)],$

dem Nullelement $[(0,0)]$, dem Einselement $[(1,0)]$ und der durch

$[(a,b)]\ge [(c,d)],$

falls

$a+d\ge b+c,$

definierten Ordnung

ein angeordneter Ring.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen