Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist ein kommutativer Ring und nach Fakt ist eine totale Ordnung. Wir müssen also lediglich noch die Verträglichkeit der Ordnung mit der Addition und der Multiplikation überprüfen. Sei

also , und beliebig. Dann ist auch

also

Wenn und ist, so ist und . Mit Aufgabe ergibt sich

was

bedeutet.

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