Beweis
Nach
Fakt
ist
ein kommutativer Ring und nach
Fakt
ist
eine totale Ordnung. Wir müssen also lediglich noch die Verträglichkeit der Ordnung mit der Addition und der Multiplikation überprüfen. Sei
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2391d3d11caaf252146ce25295282921cd03a980)
also
,
und
beliebig. Dann ist auch
-

also
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]+[(e,f)]=[(a+e,b+f)]\geq [(c+e,d+f)]=[(c,d)]+[(e,f)]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb89e90d55c6ffb32049a8b7957801613ade863)
Wenn
und
ist, so ist
und
.
Mit
Aufgabe
ergibt sich
-

was
-
![{\displaystyle {}[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]\geq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24997a1efecaea2c8d611c80994c486c8d0a8df)
bedeutet.