Ganze Zahlen/Lösbarkeit der Additionsgleichung/Bemerkung

Innerhalb der ganzen Zahlen besitzt die mit den natürlichen Zahlen ${}a,b$ formulierte Gleichung

${}a+x=b\,$

eine eindeutige Lösung, nämlich ${}(-a)+b$. Bei ${}a\leq b$ ist das ja nach Definition die natürliche Differenz ${}b-a$, und bei ${}a>b$ ist nach Definition

${}(-a)+b=-(a-b)\,,$

und wegen

${}a\geq a-b\geq 0\,$

ist nach der Definition der Addition und Fakt  (3)

${}a+(-(a-b))=a-(a-b)=(a+b)-a=b\,.$

Diese eindeutige Lösbarkeit überträgt sich auf eine Gleichung der Form

${}a+x=b\,$

mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$, siehe Aufgabe. Diese Aussage folgt auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt.