Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

1. Das folgt unmittelbar aus der Definition.
2. Surjektiv: Für die positiven Zahlen ergibt sich das aus der Eigenschaft der Nachfolgerabbildung auf ${}\mathbb {N}$. Die ${}0$ ist Nachfolger der ${}-1$. Es sei eine negative Zahl

   ${}z=-b\,$

   mit ${}b\in \mathbb {N} _{+}$ gegeben. Diese positive Zahl ${}b$ besitzt in ${}\mathbb {N}$ einen eindeutig bestimmten Nachfolger ${}c$, also

   ${}N(b)=c\,$

   und  ${}V(c)=b$  Dann ist nach Definition

   ${}N(-c)=-V(c)=-b=z\,$

   und ${}z$ ist ein Vorgänger. Injektiv: Es seien ${}x,y\in \mathbb {Z}$ mit  ${}N(x)=N(y)$.  Bei ${}x,y\in \mathbb {N}$ folgt  ${}x=y$  direkt aus der Injektivität der Nachfolgerabbildung auf ${}\mathbb {N}$. Wenn beide Zahlen negativ sind, so ist der Nachfolger auch negativ mit der einzigen Ausnahme  ${}N(-1)=0$. 

3. Es ist  ${}N(-a)=-V(a)$  und  ${}V(-b)=-N(b)$  für ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$.
4. Dies ist für die natürlichen Zahlen mit der Nachfolgerabbildung klar. Für die negativen Zahlen Wenn  ${}a=N^{k}(0)$  ist, so kann man drauf beidseitig ${}k$-fach die Vorgängerabbildung anwenden und erhält

   ${}V^{k}(a)=V^{k}(N^{k}(0))=0\,.$

   ${}-a=V^{k}(0)\,$

Zur gelösten Aufgabe