Ganzheitsring/Wurzel -5/Standardideal/Garbe/Invertierbar/Beispiel

Im quadratischen Zahlbereich ${}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} [T]/(T^{2}+5)$ gilt die Gleichheit

${}2\cdot 3=6=(1+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })\,.$

Wir betrachten das Ideal ${}I=(2,1+{\sqrt {-5}})$ (das ein Primideal ist und kein Hauptideal) und die zugehörige Idealgarbe ${}{\widetilde {I}}$ auf ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Das Spektrum wird durch die beiden offenen Mengen ${}D(2)$ und ${}D(3)$ überdeckt. Es ist ${}{\widetilde {I}}{|}_{D(2)}\cong {{\mathcal {O}}_{X}}{|}_{D(2)}$, da ${}2$ zum Ideal gehört und daher das Ideal in der Nenneraufnahme ${}R_{2}$ zum Einheitsideal wird. In der Nenneraufnahme ${}R_{3}$ (also auf ${}D(3)$) ist hingegen

${}2={\frac {1-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }}{3}}(1+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })\,$

und somit ist ${}I_{3}$ ein Hauptideal mit dem Erzeuger ${}1+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} }$. Daher ist ${}{\widetilde {I}}{|}_{D(3)}\cong {{\mathcal {O}}_{X}}{|}_{D(3)}$ und ${}{\widetilde {I}}$ ist eine invertierbare Garbe.