Ganzheitsring/Wurzel -5/Standardideal/Garbe/Invertierbar/Beispiel

Im quadratischen Zahlbereich  $R=A_{-5}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\mathbb{Z}[T]/(T^2+5)$  gilt die Gleichheit

$2\cdot 3=6=(1+\sqrt{5}\mathrm{i})(1-\sqrt{5}\mathrm{i}).$

Wir betrachten das Ideal  $I=(2,1+\sqrt{-5})$  (das ein Primideal ist und kein Hauptideal) und die zugehörige Idealgarbe $\tilde{I}$ auf  $X=\mathrm{Spek}\left(R\right)$.  Das Spektrum wird durch die beiden offenen Mengen $D(2)$ und $D(3)$ überdeckt. Es ist  $\tilde{I}{|}_{D(2)}\cong {𝒪}_X{|}_{D(2)}$,  da $2$ zum Ideal gehört und daher das Ideal in der Nenneraufnahme $R_2$ zum Einheitsideal wird. In der Nenneraufnahme $R_3$ (also auf $D(3)$) ist hingegen

$2=\frac{1-\sqrt{5}\mathrm{i}}{3}(1+\sqrt{5}\mathrm{i})$

und somit ist $I_3$ ein Hauptideal mit dem Erzeuger $1+\sqrt{5}\mathrm{i}$. Daher ist  $\tilde{I}{|}_{D(3)}\cong {𝒪}_X{|}_{D(3)}$  und $\tilde{I}$ ist eine invertierbare Garbe.