Ganzwertige Polynome/Q/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Ein Polynom heißt ganzwertig, wenn für alle gilt.

Funktionen aus der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, die die Dimension oder die Länge einer Reihe von algebraischen Objekten zählen, haben häufig für negative Argumente den Wert , verhalten sich dann auf einem gewissen Bereich „chaotisch“ und verhalten sich für „große Argumente“ (ab einem bestimmten ) polynomial. Dies wird durch die folgende Definition ausgedrückt.


Definition  

Eine Funktion heißt von polynomialen Typ, wenn es ein Polynom und ein mit für alle gibt.

Wenn dabei den Grad besitzt, so sagt man auch, dass vom polynomialen Typ vom Grad ist. Polynomialer Typ vom Grad bedeutet letztlich konstant, polynomialer Typ vom Grad bedeutet letztlich linear.


Definition  

Zu einer Funktion nennt man die durch

definierte Funktion die zugehörige Differenzfunktion.

Die Abbildung , die einer Funktion ihre Differenzfunktion zuordnet, heißt Differenzoperator. In gewisser Hinsicht ist der Differenzoperator analog zum Ableitungsoperator. Ein Polynom ist dadurch gekennzeichent, dass eine höhere Ableitung davon die Nullfunktion wird. Ein entsprechender Zusammenhang gilt auch für Funktionen vom polynomialen Typ.



Lemma  

Sei eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. ist von polynomialen Typ.
  2. Die Differenzfunktion ist von polynomialen Typ.
  3. Es gibt eine Iteration des Differenzoperators derart, dass letztlich konstant ist.

Beweis  




Lemma  

Es sei ein Polynom vom Grad . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist

    mit .

Beweis  




Korollar  

Es sei ein ganzwertiges Polynom vom Grad mit dem Leitkoeffizienten .

Dann ist ganzzahlig.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.