Garbe/Kommutative Gruppe/Cech-Kohomologie/Mengenreduktion/Aufgabe/Lösung

1. Dies ist klar wegen

   ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{i\in J}U_{i}\cup (U_{\alpha }\cup U_{\beta })=\bigcup _{i\in J}U_{i}\cup W\,.$

2. Es lediglich zu zeigen, dass die beiden Teildefinitionen auf dem Durchschnitt ${}U_{i}\cap U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ zusammenpassen. Dies folgt unter Verwendung der Kozykelbedingung aus

   ${}{\begin{aligned}g_{i\alpha }+h_{\alpha }&=g_{i\beta }+g_{\beta \alpha }+h_{\alpha }\\&=g_{i\beta }-g_{\alpha \beta }+h_{\alpha }\\&=g_{i\beta }-{\left(h_{\alpha }-h_{\beta }\right)}+h_{\alpha }\\&=g_{i\beta }+h_{\beta }.\end{aligned}}$

3. Die Kozykelbedingung für ${}i,j,k\in J$ ist automatisch erfüllt. Sei ${}i,j\in J$ und ${}W$ gegeben. Dann ist auf ${}U_{i}\cap U_{j}\cap W$ die Gleichheit

   ${}g_{ij}+f_{j}=f_{i}\,$

   zu zeigen. Dies ergibt sich auf ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{\alpha }$ mit der Kozyklelbedingung aus

   ${}g_{ij}+f_{j}=g_{ij}+g_{j\alpha }+h_{\alpha }=g_{i\alpha }+h_{\alpha }=f_{i}\,$

   und entsprechend auf ${}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{\alpha }$.

4. Die Ausgangsüberdeckung ${}U_{i}$ ${}i\in I$, ist eine Verfeinerung der zweiten Überdeckung mit

   ${}U_{\alpha },U_{\beta }\subseteq W\,.$

   Der zweite Kozykel ${}g_{ij},f_{i}$ wird dabei auf ${}g_{ij}$ und auf ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{\alpha }}$ bzw. auf ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{\beta }}$ eingeschränkt. Wir betrachten den Korand zum Tupel ${}h_{\alpha }$ auf ${}U_{\alpha }$, ${}h_{\beta }$ auf ${}U_{\beta }$ und ${}0$ sonst. Wegen

   ${}f_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{\alpha }}=g_{i\alpha }+h_{\alpha }\,$

   ist der Kozykel zur Verfeinerung gleich dem Ausgangskozykel plus diesem Korand, d.h. die Kohomologieklassen sind gleich.

Zur gelösten Aufgabe