Garbe/Kommutative Gruppe/Cech-Kohomologie/Mengenreduktion/Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$, es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung und sei ${}g_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {G}}\right)}$ ein Čech-Kozykel zur gegebenen Garbe und Überdeckung. Es sei ${}\alpha ,\beta \in I$ mit

${}g_{\alpha ,\beta }=h_{\alpha }{|}_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}-h_{\beta }{|}_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}\,$

mit ${}h_{\alpha }\in \Gamma {\left(U_{\alpha },{\mathcal {G}}\right)}$ und ${}h_{\beta }\in \Gamma {\left(U_{\beta },{\mathcal {G}}\right)}$. Es sei ${}J=I\setminus \{\alpha ,\beta \}$ und ${}W=U_{\alpha }\cup U_{\beta }$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Familie ${}U_{j}$, ${}j\in J$, zusammen mit ${}W$ ist ebenfalls eine offene Überdeckung von ${}X$.
2. Zu ${}i\in J$ sind

   ${}f_{i}={\begin{cases}g_{i\alpha }+h_{\alpha }{\text{ auf }}U_{i}\cap U_{\alpha }\,,\\g_{i\beta }+h_{\beta }{\text{ auf }}U_{i}\cap U_{\beta }\,,\end{cases}}\,$

   wohldefinierte Schnitte aus ${}\Gamma {\left(U_{i}\cap W,{\mathcal {G}}\right)}$.

3. Die Familie ${}g_{ij}$, ${}i,j\in J$ und ${}f_{i}$ aus ${}\Gamma {\left(U_{i}\cap W,{\mathcal {G}}\right)}$ zu ${}i\in J$ ist ein Kozykel zu ${}{\mathcal {G}}$ zur Überdeckung aus (1).
4. Der Kozykel aus (2) definiert die gleiche erste Čech-Kohomologieklasse wie der ursprüngliche Kozykel.

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