Garben/Homomorphismus/Isomorphismus/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung ist zu zeigen, dass

für jede offene Teilmenge bijektiv ist. Ohne Einschränkung sei . Die Injektivität ergibt sich aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei nun vorgegeben. Zu jedem Punkt gibt es ein eindeutiges

mit

Jedes wird repräsentiert durch ein

wobei eine offene Umgebung von bezeichnet. Dabei hat die Eigenschaft, dass es im Halm mit übereinstimmt. Daher gibt es eine eventuell kleinere offene Umgebung , auf der gilt. Wir ersetzen durch und haben eine offene Überdeckung

und Schnitte

die jeweils auf abbilden. Wir betrachten zwei Schnitte und auf dem Durchschnitt . Für einen Punkt

ist , da beide unter der bijektiven Abbildung auf abgebildet werden. Nach Fakt folgt

Somit gibt es aufgrund der zweiten Garbeneigenschaft ein globales Element mit

für alle . Wegen der ersten Garbeneigenschaft ist , da dies auf den gilt.