Garben/Homomorphismus/Isomorphismus/Lokaler Test/Fakt/Beweis

Beweis

Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung ist zu zeigen, dass

ℱ (U) ⟶ 𝒢 (U)

für jede offene Teilmenge $U \subseteq X$ bijektiv ist. Ohne Einschränkung sei $U = X$ . Die Injektivität ergibt sich aus Fakt. Zum Nachweis der Surjektivität sei nun $t \in 𝒢 (X)$ vorgegeben. Zu jedem Punkt $P \in X$ gibt es ein eindeutiges

s_{P} \in ℱ_{P}

mit

φ_{P} (s_{P}) = t_{P} .

Jedes $s_{P}$ wird repräsentiert durch ein

r_{P} \in ℱ (U_{P}),

wobei $U_{P}$ eine offene Umgebung von $P$ bezeichnet. Dabei hat $φ (r_{P})$ die Eigenschaft, dass es im Halm $𝒢_{P}$ mit $t_{P}$ übereinstimmt. Daher gibt es eine eventuell kleinere offene Umgebung $P \in V_{P} \subseteq U_{P}$ , auf der $φ (r_{P}) |_{V_{P}} = t |_{V_{P}}$ gilt. Wir ersetzen $U_{P}$ durch $V_{P}$ und haben eine offene Überdeckung

X = ⋃_{P \in X} V_{P}

und Schnitte

r_{P} \in ℱ (V_{P}),

die jeweils auf $t |_{V_{P}}$ abbilden. Wir betrachten zwei Schnitte $r_{P}$ und $r_{Q}$ auf dem Durchschnitt $V_{P} \cap V_{Q}$ . Für einen Punkt

Z \in V_{P} \cap V_{Q}

ist $(r_{P})_{Z} = (r_{Q})_{Z}$ , da beide unter der bijektiven Abbildung $φ_{Z}$ auf $t_{Z}$ abgebildet werden. Nach Fakt folgt

r_{P} |_{V_{P} \cap V_{Q}} = r_{Q} |_{V_{P} \cap V_{Q}} .

Somit gibt es aufgrund der zweiten Garbeneigenschaft ein globales Element $r \in ℱ (X)$ mit

r |_{V_{P}} = r_{P}

für alle $P$ . Wegen der ersten Garbeneigenschaft ist $φ (r) = t$ , da dies auf den $V_{P}$ gilt.

Zur bewiesenen Aussage