Beweis
Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung ist zu zeigen, dass
-
für jede offene Teilmenge
bijektiv ist. Ohne Einschränkung sei
.
Die Injektivität ergibt sich aus
Fakt.
Zum Nachweis der Surjektivität sei nun
vorgegeben. Zu jedem Punkt
gibt es ein eindeutiges
-
![{\displaystyle {}s_{P}\in {\mathcal {F}}_{P}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837003654a17ab7283188069c9e45707f35b614c)
mit
-
![{\displaystyle {}\varphi _{P}(s_{P})=t_{P}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2ac19c9f3a47617a75ba1cc6471865634d55aa)
Jedes
wird repräsentiert durch ein
-
![{\displaystyle {}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{P}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7e95700af114cd6f17bab82b59e4e715388275)
wobei
eine offene Umgebung von
bezeichnet. Dabei hat
die Eigenschaft, dass es im Halm
mit
übereinstimmt. Daher gibt es eine eventuell kleinere offene Umgebung
,
auf der
gilt. Wir ersetzen
durch
und haben eine offene Überdeckung
-
![{\displaystyle {}X=\bigcup _{P\in X}V_{P}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dcb2f73b42241565ee8f5fbd3177e62e9c7b6c)
und Schnitte
-
![{\displaystyle {}r_{P}\in {\mathcal {F}}{\left(V_{P}\right)}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc66b042f889804bd8ba76a64acb39281866707)
die jeweils auf
abbilden. Wir betrachten zwei Schnitte
und
auf dem Durchschnitt
. Für einen Punkt
-
![{\displaystyle {}Z\in V_{P}\cap V_{Q}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de32c504280beb98ae4831020f921cb540583178)
ist
,
da beide unter der bijektiven Abbildung
auf
abgebildet werden. Nach
Fakt
folgt
-
![{\displaystyle {}r_{P}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}=r_{Q}{|}_{V_{P}\cap V_{Q}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8758db6c9f7c71f949bd5c1e0ae7d40c81adbb4)
Somit gibt es aufgrund der zweiten Garbeneigenschaft ein globales Element
mit
-
![{\displaystyle {}r{|}_{V_{P}}=r_{P}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e72e8531dc8c897af82606c3c74df044204fda)
für alle
. Wegen der ersten Garbeneigenschaft ist
,
da dies auf den
gilt.