Garbenmorphismus/Injektiv/Halm/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien $s_P$ und $t_P$ Keime aus ${ℱ}_P$ mit  ${\phi }_P(s_P)={\phi }_P(t_P)$.  Wir können davon ausgehen, dass beide durch Schnitte  $s,t\in ℱ\left(U\right)$  auf einer offenen Umgebung $U$ von $P$ repräsentiert werden. Aufgrund der Gleichheit im Halm zu $𝒢$ gibt es eine offene Umgebung  $P\in U^{\prime }\subseteq U$  mit  ${\phi }_{U^{\prime }}(s)={\phi }_{U^{\prime }}(t)$  in $𝒢\left(U^{\prime }\right)$. Aus der Voraussetzung folgt  $s=t$  in $ℱ\left(U^{\prime }\right)$ und damit auch im Halm zu $P$.

Zum Beweis der Rückrichtung seien Schnitte  $s,t\in ℱ\left(U\right)$  mit  $\phi (s)=\phi (t)$  in $𝒢\left(U\right)$ gegeben. Dann ist  $\phi (s{)}_P=\phi (t{)}_P$  in jedem Halm ${𝒢}_P$ zu  $P\in U$  und damit nach Voraussetzung (unter Verwendung von Fakt) auch  $s_P=t_P$  in jedem Halm ${ℱ}_P$. Aus Fakt folgt  $s=t$. 

Zur bewiesenen Aussage