Garbenmorphismus/Injektiv/Halm/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}s_{P}$ und ${}t_{P}$ Keime aus ${}{\mathcal {F}}_{P}$ mit  ${}\varphi _{P}(s_{P})=\varphi _{P}(t_{P})$.  Wir können davon ausgehen, dass beide durch Schnitte  ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  auf einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ repräsentiert werden. Aufgrund der Gleichheit im Halm zu ${}{\mathcal {G}}$ gibt es eine offene Umgebung  ${}P\in U'\subseteq U$  mit  ${}\varphi _{U'}(s)=\varphi _{U'}(t)$  in ${}{\mathcal {G}}{\left(U'\right)}$. Aus der Voraussetzung folgt  ${}s=t$  in ${}{\mathcal {F}}{\left(U'\right)}$ und damit auch im Halm zu ${}P$.

Zum Beweis der Rückrichtung seien Schnitte  ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$  mit  ${}\varphi (s)=\varphi (t)$  in ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ gegeben. Dann ist  ${}\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$  in jedem Halm ${}{\mathcal {G}}_{P}$ zu  ${}P\in U$  und damit nach Voraussetzung (unter Verwendung von Fakt) auch  ${}s_{P}=t_{P}$  in jedem Halm ${}{\mathcal {F}}_{P}$. Aus Fakt folgt  ${}s=t$. 

Zur bewiesenen Aussage