Garbenmorphismus/Injektiv/Halm/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}s_{P}$ und ${}t_{P}$ Keime aus ${}{\mathcal {F}}_{P}$ mit ${}\varphi _{P}(s_{P})=\varphi _{P}(t_{P})$. Wir können davon ausgehen, dass beide durch Schnitte ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ auf einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ repräsentiert werden. Aufgrund der Gleichheit im Halm zu ${}{\mathcal {G}}$ gibt es eine offene Umgebung ${}P\in U'\subseteq U$ mit ${}\varphi _{U'}(s)=\varphi _{U'}(t)$ in ${}{\mathcal {G}}{\left(U'\right)}$. Aus der Voraussetzung folgt ${}s=t$ in ${}{\mathcal {F}}{\left(U'\right)}$ und damit auch im Halm zu ${}P$.

Zum Beweis der Rückrichtung seien Schnitte ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\varphi (s)=\varphi (t)$ in ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ gegeben. Dann ist ${}\varphi (s)_{P}=\varphi (t)_{P}$ in jedem Halm ${}{\mathcal {G}}_{P}$ zu ${}P\in U$ und damit nach Voraussetzung (unter Verwendung von Fakt) auch ${}s_{P}=t_{P}$ in jedem Halm ${}{\mathcal {F}}_{P}$. Aus Fakt folgt ${}s=t$.

Zur bewiesenen Aussage