Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösung

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ die Primfaktorzerlegung von ${}8-{\mathrm {i} }$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

Lösung

Wir haben

${}N(8-{\mathrm {i} })=(8-{\mathrm {i} })(8+{\mathrm {i} })=65=5\cdot 13\,.$

Beide Primfaktoren der Norm haben also den Rest ${}1$ modulo ${}4$ und sind damit zerlegt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen. Es ist ${}5=(2+{\mathrm {i} })(2-{\mathrm {i} })$ und ${}13=(3+2{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })$, und diese Faktoren sind prim nach Fakt. Die Primfaktorzerlegung von ${}8-{\mathrm {i} }$ muss also (bis auf eine Einheit) aus einem Primfaktor von ${}5$ und einem Primfaktor von ${}13$ bestehen.

Die eine Möglichkeit ist

${}(2+{\mathrm {i} })(3+2{\mathrm {i} })=4+7{\mathrm {i} }\,,$

die aber nicht zu ${}8-{\mathrm {i} }$ assoziiert ist. Die andere Möglichkeit ist

${}(2+{\mathrm {i} })(3-2{\mathrm {i} })=8-{\mathrm {i} }\,,$

die die gesuchte Primfaktorzerlegung ist.