Gebiet/Einfach zusammenhängend/Ohne Punkte/Residuum und Auswertung/Aufgabe

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  ein einfach zusammenhängendes Gebiet, es seien  ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$  Punkte und  ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.  Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\Gamma (U,\Omega )&{\stackrel {\text{Ev}}{\longrightarrow }}&\operatorname {Hom} {\left(H_{1}(U,\mathbb {Z} ),{\mathbb {C} }\right)}&\\&\!\!\!\!\!\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)\searrow &\downarrow \rho \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{n}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei ${}\rho$ einen Homomorphismus ${}\varphi \colon H_{1}(U,\mathbb {Z} )\rightarrow {\mathbb {C} }$ auf das Tupel ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\left(\varphi (\gamma _{1}),\,\ldots ,\,\varphi (\gamma _{n})\right)$ abbildet, wobei ${}\gamma _{i}$ eine Standardumrundung von ${}P_{i}$ mit hinreichend kleinem Radius ist.

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