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Gebiet/Holomorphe Funktion/Maximumsprinzip/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Beweis

Wir zeigen, dass in einer offenen Kreisscheibenumgebung von konstant ist und daher wegen Fakt überhaupt konstant ist. Es sei

Mit Fakt ist dann

daher muss hier sogar überall Gleichheit gelten. Dies bedeutet insbesondere

wobei der Integrand wegen der Maximumsbedingung nichtnegativ ist. Dann ist aber nach Aufgabe der Integrand bereits konstant gleich . Dies gilt auch für jeden Radius , und daher ist überhaupt in einer offenen Umgebung von . Aus Fakt ergibt sich, dass selbst in der Umgebung konstant ist.