Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Für jedes $z$ gilt die Beziehung

$(z-1)\left(\sum _{k=0}^n{z}^k\right)=z^{n+1}-1$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei $z\ne 1$)

$s_n=\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{z^{n+1}-1}{z-1}.$

Für $n\to \mathrm{\infty }$ und  $|z|<1$  konvergiert dies wegen Aufgabe und Fakt gegen

 $\frac{-1}{z-1}=\frac{1}{1-z}$. 

Zur gelösten Aufgabe