Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Für jedes ${}x$ und jedes ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

${}(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${}x\neq 1$)

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ und ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert dies wegen Fakt und Aufgabe gegen ${}{\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$.

Zur bewiesenen Aussage