Geordnete Menge/Atome/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}(M,\preccurlyeq )$ eine geordnete Menge mit einem kleinsten Element ${}0$ und mit der Eigenschaft, dass zu je zwei Elementen das Infimum ${}x\sqcap y$ existiert. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Wenn ${}a\in M$ ein Atom ist, so ist ${}a\sqcap x=0$ oder ${}a\sqcap x=a$ für alle ${}x$.
2. Wenn ${}a$ und ${}b$ verschiedene Atome sind, so ist ${}a\sqcap b=0$.
3. Es sei ${}M$ endlich. Dann gibt es zu jedem ${}x\in M\setminus \{0\}$ ein Atom ${}a$ mit ${}a\preccurlyeq x$.

Eine Lösung erstellen