Gerichtetes System/Kolimes/Universelle Eigenschaft/Mengen und Gruppen/Aufgabe

Es sei ${}I$ eine gerichtete Indexmenge und sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Es sei ${}N$ eine weitere Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Abbildung

$\psi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N$

mit der Eigenschaft gegeben, dass ${}\psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}$ ist für alle ${}i\preccurlyeq j$ (wobei ${}\varphi _{ij}$ die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

$\psi \colon \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}\longrightarrow N$

derart gibt, dass ${}\psi _{i}=\psi \circ j_{i}$ ist, wobei ${}j_{i}:M_{i}\rightarrow \operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}$ die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls ${}M_{i}$ eine gerichtetes System von Gruppen und falls ${}N$ ebenfalls eine Gruppe ist und alle ${}\psi _{i}$ Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ${}\psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

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