Gerichtetes System/Kolimes/Universelle Eigenschaft/Mengen und Gruppen/Aufgabe

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Sei eine gerichtete Indexmenge und sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Es sei eine weitere Menge und zu jedem sei eine Abbildung

mit der Eigenschaft gegeben, dass ist für alle (wobei die Abbildungen des Systems bezeichnen). Beweise die universelle Eigenschaft des Kolimes, nämlich, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

derart gibt, dass ist, wobei die natürlichen Abbildungen sind.

Zeige ferner, dass falls eine gerichtetes System von Gruppen und falls ebenfalls eine Gruppe ist und alle Gruppenhomomorphismen sind, dass dann auch ein Gruppenhomomorphismus ist.