Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist -ty^3/Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung mit getrennten Variablen

${}y'=-t\cdot y^{3}\,$

für ${}y>0$. Eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{y^{3}}}$ ist ${}H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ (${}z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

${}y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.$

Die Stammfunktionen zu ${}g(t)=-t$ sind ${}-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

${}y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left(-{\frac {1}{2}}t^{2}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {1}{t^{2}-2c}}}\,.$

Insbesondere erhält man bei ${}c=0$ die auf ${}\mathbb {R} _{+}$ definierte Lösung

${}y(t)={\frac {1}{t}}\,.$