Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist -ty^3/Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung mit getrennten Variablen

$y^{\prime }=-t\cdot y^3$

für  $y>0$.  Eine Stammfunktion zu $\frac{1}{y^3}$ ist  $H(y)=-\frac{1}{2}{y}^{-2}=z$  ($z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

$y=H^{-1}(z)=\sqrt{-\frac{1}{2}{z}^{-1}}.$

Die Stammfunktionen zu  $g(t)=-t$  sind $-\frac{1}{2}{t}^2+c$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

$y(t)=\sqrt{-\frac{1}{2}{(-\frac{1}{2}{t}^2+c)}^{-1}}=\sqrt{\frac{1}{t^2-2c}}.$

Insbesondere erhält man bei  $c=0$  die auf ${ℝ}_{+}$ definierte Lösung

$y(t)=\frac{1}{t}.$