Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^3/Beispiel

Wir betrachten die Differentialgleichung mit getrennten Variablen

${}y'=t\cdot y^{3}\,$

für

${}y>0$. Eine Stammfunktion zu ${}{\frac {1}{y^{3}}}$ ist ${}H(y)=-{\frac {1}{2}}y^{-2}=z$ (${}z$ ist also negativ) mit der Umkehrfunktion

${}y=H^{-1}(z)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}z^{-1}}}\,.$

Die Stammfunktionen zu ${}g(t)=t$ sind ${}{\frac {1}{2}}t^{2}+c$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

${}y(t)={\sqrt {-{\frac {1}{2}}{\left({\frac {1}{2}}t^{2}+c\right)}^{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{t^{2}+2c}}}\,.$

Hierbei muss ${}c$ negativ gewählt werden, damit diese Lösung einen nichtleeren Definitionsbereich besitzt. Der Definitionsbereich ist dann das Intervall ${}]{{-{\sqrt {-2c}}},{\sqrt {-2c}}[}$. Insbesondere sind die Lösungen nur auf einem beschränkten offenen Intervall definiert, obwohl die Differentialgleichung auf ganz ${}\mathbb {R} ^{2}$ definiert ist. An den Intervallgrenzen strebt ${}y(t)$ gegen ${}{+\infty }$, d. h., die Lösung „entweicht“.