Gitter/Basis/Übergang/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien $M$ und $N$ die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

M \circ N = E_{n}

und

det M \cdot det N = 1

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus $v_{j} \in Δ$ , dass in

v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}

die Koeffizienten $c_{i j}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten $1$ oder $- 1$ sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in $ℤ$ sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

Γ \subseteq Δ \subseteq Γ

und damit Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage