Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Erzeuger/Fakt/Beweis

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Beweis

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion eine rationale Funktion in ist.

Sei eine gerade elliptische Funktion. Die Ordnung von in einem Punkt stimmt mit der Ordnung von in überein. Wenn dabei ist, also , so ist die Ordnung in einem solchen Punkt gerade. Es sei , die zugehörige Fundamentalmasche und . Es seien die Punkte in , in denen eine Pol- oder eine Nullstelle vorliegt. Aus diesen Ordnungen basteln wir die elliptische Funktion

wobei die Ordnungen sind. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie . Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist , da nach Konstruktion dazugehört.