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Beweis

Jede elliptische Funktion kann man als eine Summe einer geraden und einer ungeraden elliptischen Funktion schreiben, siehe Aufgabe. Eine ungerade elliptische Funktion kann man mit ${}\wp '$ multiplizieren und erhält eine gerade elliptische Funktion. Es genügt also zu zeigen, dass jede gerade elliptische Funktion ${}f\neq 0$ eine rationale Funktion in ${}\wp$ ist.

Es sei ${}\Gamma =\langle u,v\rangle$, ${}{\mathfrak {M}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r,s<1\right\}}$ die zugehörige Fundamentalmasche und ${}{\mathfrak {N}}={\left\{ru+sv\mid 0\leq r<1,\,0\leq s<{\frac {1}{2}}\right\}}$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Punkte ${}\neq 0$ in ${}{\mathfrak {N}}$, in denen eine Pol- oder eine Nullstelle von ${}f$ vorliegt. Wir betrachten die elliptische Funktion

${}g(z)=\prod _{i}(\wp (z)-\wp (a_{i}))^{r_{i}}\,,$

wobei ${}r_{i}$ die Ordnung von ${}f$ in ${}a_{i}$ ist, es sei denn, dass ${}2a_{i}\in \Gamma$ ist, in diesem Fall ist ${}r_{i}$ die Hälfte der nach Fakt geraden Ordnung von ${}f$ in ${}a_{i}$. Diese Funktion besitzt überall außer eventuell im Nullpunkt die gleichen Ordnungen wie ${}f$, da ${}\wp (z)-\wp (a)$ in ${}a$ die Ordnung ${}1$ besitzt, mit den Ausnahmen für die Punkte ${}a$ mit ${}2a\in \Gamma$, wo die Ordnung ${}2$ ist. Aus Fakt folgt dann, dass auch im Nullpunkt die Ordnungen gleich sind. Daher ist ${}{\frac {f}{g}}$ holomorph und somit nach Fakt konstant. Daher ist ${}f\in {\mathbb {C} }(\wp )$, da ${}g$ nach Konstruktion dazugehört.

Zur bewiesenen Aussage