Gitter/Komplexe Zahlen/Gittersumme (z-v) hoch -3/Elliptisch/Fakt/Beweis

Beweis

Die Konvergenz für ${}z\notin \Gamma$ folgt aus Fakt durch eine geeignete Abschätzung. Daraus folgt auch die Holomorphie auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \Gamma$: Wir schreiben

${}f_{n}:=\sum _{v\in \Gamma ,\,\vert {v}\vert \leq n}(z-v)^{-3}\,,$

diese Folge konvergiert außerhalb der Gitterpunkte nach Fakt lokal gleichmäßig und daher ist die Grenzfunktion ${}f$ nach Fakt holomorph. In ${}z_{0}\in \Gamma$ ist ${}\sum _{v\in \Gamma ,\,v\neq z_{0}}(z-v)^{-3}$ konvergent und die Polordnung ist durch den fehlenden Term ${}(z-z_{0})^{-3}$ festgelegt. Die Funktion ${}\sum _{v\in \Gamma }(z-v)^{-3}$ ist elliptisch, da sich die Summe nicht ändert, wenn man ${}z$ durch ${}z-v_{0}$ mit einem ${}v_{0}\in \Gamma$ ersetzt.

Zur bewiesenen Aussage