Gitter/Komplexe Zahlen/Stetiger Homomorphismus nach Quotient/Lineare Liftung/Fakt

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter mit der Quotientenabbildung ${}\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ und sei ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}\varphi =\pi \circ {\tilde {\varphi }}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen