Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Aufgabe

Es sei  $\Gamma \subseteq ℂ$  ein Gitter und  $E=ℂ/\Gamma$  der zugehörige komplexe Torus. Es sei $\ell$ eine Primzahl. Zeige, dass unter den natürlichen Identifizierungen

$\Gamma /{\ell }^n\Gamma \cong {\mathrm{Tor}}_{{\ell }^n}\left(E\right)$

mit $[g]\mapsto \frac{1}{{\ell }^n}[g]$ (vergleiche Aufgabe) die Diagramme

$\begin{array}{cccc}\Gamma /{\ell }^{n+1}\Gamma & \stackrel{}{⟶}& \Gamma /{\ell }^n\Gamma & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ {\mathrm{Tor}}_{{\ell }^{n+1}}\left(E\right)& \stackrel{\cdot \ell }{⟶}& {\mathrm{Tor}}_{{\ell }^n}\left(E\right)& \end{array}$

kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe  ${\ell }^{n+1}\Gamma \subseteq {\ell }^n\Gamma$  steht. Man folgere, dass der Tate-Modul $T_{\ell }(E)$ kanonisch isomorph zu $\underset{n\in \mathbb{N}}{\underleftarrow{\lim }}\Gamma /{\ell }^n\Gamma$ ist.

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