Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Streckung/Isogenie/Determinante/Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und ${}E={\mathbb {C} }/\Gamma$ der zugehörige komplexe Torus. Es sei ${}s\in {\mathbb {C} }$, ${}s\neq 0$, mit ${}s\Gamma \subseteq \Gamma$ und es sei

$\varphi \colon E\longrightarrow E$

die zugehörige Isogenie. Zeige, dass der Grad von ${}\varphi$ mit der Determinante von

$s\colon \Gamma \longrightarrow \Gamma$

und mit der Determinante des zugehörigen Endomorphismus des Tate-Moduls

$\varphi _{\ell }\colon T_{\ell }(E)\longrightarrow T_{\ell }(E)$

für jede Primzahl ${}\ell$ übereinstimmt.

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