Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Isogenie/Charakterisierung/Fakt

Es seien  ${}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$  Gitter. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Es gibt ein  ${}s\in {\mathbb {C} }^{\times }$  mit  ${}s\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}$. 
2. Es gibt einen surjektiven Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

   $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

3. Es gibt einen Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

   $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

   mit einem endlichen Kern.

4. Es gibt einen nichtkonstanten Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

   $\varphi \colon {\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen