Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Quotient/Gruppenhomomorphismus/Endlicher Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Unter dem Gruppenhomomorphismus

${\pi }_2:ℂ⟶ℂ/{\Gamma }_2$

wird insbesondere auch das Untergitter  ${\Gamma }_1\subseteq ℂ$  auf $0$ abgebildet, d.h. ${\Gamma }_1$ gehört zum Kern von ${\pi }_2$. Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus

$ℂ/{\Gamma }_1⟶ℂ/{\Gamma }_2.$

Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu ${\Gamma }_2/{\Gamma }_1$. Dies ist eine endliche Gruppe.

Zur bewiesenen Aussage