Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Quotient/Gruppenhomomorphismus/Endlicher Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Unter dem Gruppenhomomorphismus

$\pi _{2}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

wird insbesondere auch das Untergitter ${}\Gamma _{1}\subseteq {\mathbb {C} }$ auf ${}0$ abgebildet, d.h. ${}\Gamma _{1}$ gehört zum Kern von ${}\pi _{2}$. Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}.$

Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$. Dies ist eine endliche Gruppe.

Zur bewiesenen Aussage