Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}U:={\left\{P\in C\mid q\in {\mathcal {O}}_{C,P}\right\}}\,$

der Definitionsbereich (als Funktion in die affine Gerade) von ${}q$ und (bei ${}q\neq 0$)

${}V:={\left\{P\in C\mid q^{-1}\in {\mathcal {O}}_{C,P}\right\}}\,$

der Definitionsbereich von ${}q^{-1}$. Es gilt ${}C=U\cup V$, da die ${}{\mathcal {O}}_{C,P}$ diskrete Bewertungsringe sind und dort ${}q=\pi ^{n}u$ mit einer Einheit ${}u\in {\mathcal {O}}_{C,P}$, einem lokalen Parameter ${}\pi \in {\mathcal {O}}_{C,P}$ und ${}n\in \mathbb {Z}$ gilt. Nach Fakt gibt es einen Morphismus

$q\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong \operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {Y}{X}}]\right)}\cong D_{+}(X)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

und einen Morphismus

$q^{-1}\colon V\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}\cong \operatorname {Spec} {\left(K[{\frac {X}{Y}}]\right)}\cong D_{+}(Y)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{1},$

die den Einsetzungshomomorphismen ${}{\frac {Y}{X}}\mapsto q$ bzw. ${}{\frac {X}{Y}}\mapsto q^{-1}$ entsprechen. Auf dem Durchschnitt ${}U\cap V$ stimmen beide Morphismen überein, daher definieren sie insgesamt einem Morphismus in die projektive Gerade.

Zur bewiesenen Aussage