Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus nach P^1/Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Beweis

Der Funktionenkörper der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ ist ${}K(t)$ mit ${}t={\frac {Y}{X}}$. Die Erweiterung der Funktionenkörper ist durch

$K(t)\longrightarrow Q(C),\,t\longmapsto q,$

gegeben. Der Hauptdivisor zu ${}t$ auf ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist ${}(0)-(\infty )=(Y)-(X)$, wobei zwei Beschreibungsmöglichkeiten für die Punkte verwendet wurden. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage