Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus nach P^1/Hauptdivisor/Fakt

Es sei ${}C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ und sei ${}Q$ der Funktionenkörper von ${}C$. Es sei  ${}q\in Q$,   ${}q\notin K$,  und

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der nach Fakt zugehörige Morphismus zu einem Element  ${}q\in Q$. 

Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor

${}q^{*}((0)-(\infty ))=\operatorname {div} {\left(q\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen