Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus nach P^1/Hauptdivisor/Fakt

Es sei $C$ eine glatte irreduzible Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ und sei $Q$ der Funktionenkörper von $C$. Es sei  $q\in Q$,   $q\notin K$,  und

$q:C⟶{\mathbb{P}}_K^1$

der nach Fakt zugehörige Morphismus zu einem Element  $q\in Q$. 

Dann gilt für den zurückgezogenen Divisor

$q^{\ast }((0)-(\mathrm{\infty }))=\mathrm{div}\left(q\right).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen