Glatte Kurven/Endlicher Morphismus/Punkt/Faserpunktanzahl/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir können direkt davon ausgehen, dass und glatte endlich erzeugte kommutative -Algebren der Dimension sind, dass eine endlich freie Ringerweiterung vom Rang ist und dass dem maximalen Ideal entspricht, . Es ist die lokalisierte Version der Abbildung und

die Restklasssenversion. Dabei ist eine endlichdimensionale -Algebra der Vektorraumdimension (und der Krulldimension ) und besitzt die Form mit lokalen -Algebren der Krulldimension . Da algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von gleich und daher gibt es in der Faser genau dann Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Fakt.