Glatte Varietäten/C/Riemannscher Existenzsatz/Fakt

Riemannscher Existenzsatz

Es sei ${}X$ eine glatte Varietät über ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}X_{\mathbb {C} }$ die zugehörige komplexe Mannigfaltigkeit. Es sei

\psi \colon Z\longrightarrow X_{\mathbb {C} }

eine endliche Überlagerung (also eine topologisch eigentliche Überlagerung mit endlichen Fasern) durch eine komplexe Mannigfaltigkeit ${}Z$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Varietät ${}Y$ über ${}{\mathbb {C} }$ und einen endlichen étalen Morphismus

$\varphi \colon Y\longrightarrow X$

mit ${}Z=Y_{\mathbb {C} }$ und ${}\psi =\varphi _{\mathbb {C} }$ .