Glatte ebene projektive Kurve/Homogener Quotient/Hauptdivisor/Berechnung/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in C$ ein Punkt der Kurve und es sei (ohne Einschränkung) ${}P\in D_{+}(Z)$ eine affine Umgebung des Punktes. Sowohl die Schnittmultiplizitäten als auch der Wert des Hauptdivisors an ${}P$ wird im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{C,P}$ berechnet. Es seien ${}{\tilde {F}},{\tilde {G}},{\tilde {H}}$ die Dehomogenisierungen von ${}F,G,H$. Der Punkt ${}P$ entspricht dem maximalen Ideal

${}{\mathfrak {m}}\subseteq K[x,y]\,$

(mit ${}x={\frac {X}{Z}}$ und ${}y={\frac {Y}{Z}}$). Der lokale Ring ist

${}{\mathcal {O}}_{C,P}=K[x,y]_{\mathfrak {m}}/({\tilde {F}})\,.$

Die Schnittmultiplizität von ${}C$ mit ${}V_{+}(G)$ im Punkt ${}P$ ist die ${}K$-Dimension

des Restklassenringes ${}K[x,y]_{\mathfrak {m}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})$. Dies ist die Ordnung von ${}{\tilde {G}}$ im diskreten Bewertungsring ${}{\mathcal {O}}_{C,P}$. Dies ist auch der Wert des Hauptdivisors zu der von ${}{\tilde {G}}$ auf ${}K[x,y]/({\tilde {F}})$ und auf ${}{\mathcal {O}}_{C,P}$ induzierten Funktion. Da dies auch für ${}{\tilde {H}}$ gilt und beide Funktionen in ${}{\mathcal {O}}_{C,P}$ nicht zu ${}0$ werden, folgt die Behauptung.

Zur gelösten Aufgabe