Glatte ebene projektive Kurve/Homogener Quotient/Hauptdivisor/Berechnung/Aufgabe

Es sei ${}C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte projektive Kurve und seien ${}H,G\in K[X,Y,Z]$ homogene Polynome vom Grad ${}d$. Es seien ${}G$ und ${}H$ keine Vielfache von ${}F$ und es sei ${}q={\frac {H}{G}}$ die zugehörige rationale Funktion im Funktionenkörper der Kurve. Es sei

${}C\cap V_{+}(G)=\sum _{P}m_{P}P\,$

und

${}C\cap V_{+}(H)=\sum _{P}n_{P}P\,,$

wobei ${}m_{P}$ bzw. ${}n_{P}$ die Schnittmultiplizitäten bezeichnen. Zeige, dass für den Hauptdivisor zu ${}q$ auf ${}C$ die Gleichheit

${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{P}(m_{P}-n_{P})P\,$

gilt.

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