Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition

Addition auf elliptischer Kurve

Es sei  ${}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$  eine elliptische Kurve über ${}K$ und sei  ${}{\mathfrak {O}}\in E$  ein fixierter ${}K$- Wendepunkt der Kurve. Zu ${}K$-Punkten  ${}P,Q\in E$  sei ${}{\overline {P,Q}}$ die projektive Gerade durch ${}P$ und ${}Q$, die bei  ${}P=Q$  als Tangente durch ${}P$ zu interpretieren ist, und sei ${}P\star Q$ der neben ${}P$ und ${}Q$ dritte Punkt auf der Kurve. Dann nennt man

${}-P:={\mathfrak {O}}*P\,$

das Negative zu ${}P$ und

${}P+Q:=-(P*Q)={\mathfrak {O}}*(P*Q)\,$

die Summe der beiden Punkte.