Glatte projektive Kurve/C/Kompakt/Globale meromorphe Funktionen/Rational/Fakt/Beweis

Beweis

Es gibt einen algebraischen endlichen Morphismus

$X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$

dabei ist der Grad ${}n$ der Körpererweiterung der Funktionenkörper ${}{\mathbb {C} }(t)=K({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1})\subseteq K(X)$ nach Fakt gleich der generischen Anzahl der Urbildpunkte. Diese Abbildung induziert eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen

$X_{\text{an}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},$

deren Blätterzahl gleich ${}n$ ist. Nach (dem Beweis von) Fakt besitzt die Körpererweiterung

${}{\mathbb {C} }(t)\subseteq {\mathcal {M}}(X)\,$

ebenfalls den Grad ${}n$. Aus der trivialen Inklusion ${}K(X)\subseteq {\mathcal {M}}(X)$ folgt dann ${}K(X)={\mathcal {M}}(X)$.

Zur bewiesenen Aussage