Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage ist für die Strukturgarbe richtig.

Zu einem abgeschlossenen Punkt ${}P\in C$ betrachtet man die kurze exakte Garbensequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}\longrightarrow \kappa (P)\longrightarrow 0,$

wobei ${}{\mathcal {I}}_{P}={\mathcal {O}}_{C}(-P)$ die (reduzierte) invertierbare Idealgarbe zu dem Punkt ${}P$ ist und ${}\kappa (P)$ die Strukturgarbe auf dem Punkt, die man als Wolkenkratzergarbe auf ${}C$ auffasst. Die Tensorierung dieser Sequenz mit einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ ergibt

$0\longrightarrow {\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}\longrightarrow {\mathcal {L}}\longrightarrow \kappa (P)\otimes {\mathcal {L}}=\kappa (P)\longrightarrow 0.$

Diese exakten Sequenzen stiften eine Beziehung zwischen zwei invertierbaren Garben, die sich um den Punkt ${}P$ unterscheiden. In einer solchen kurzen exakten Sequenz gilt wegen der zugehörigen langen exakten Kohomologiesequenz die Beziehung

$h^{0}(C,{\mathcal {L}})-h^{1}(C,{\mathcal {L}})=h^{0}(C,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})-h^{1}(C,{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,.$

da ${}h^{0}(C,\kappa (P))=1$ und ${}h^{1}(C,\kappa (P))=0$ gilt, da der Träger nulldimensional ist. Wegen

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P})=-1\,$

ist

${}\operatorname {Grad} \,({\mathcal {L}})=\operatorname {Grad} \,({\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}})+1\,$

und der Grad verhält sich wie die Differenz der Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie. Die Formel von Riemann-Roch gilt also genau dann für ${}{\mathcal {L}}$, wenn sie für ${}{\mathcal {I}}_{P}\otimes {\mathcal {L}}$ gilt. Da jede invertierbare Garbe auf der Kurve nach Fakt die Form ${}{\mathcal {O}}_{C}(-D)$ zu einem Weildivisor ${}D$ besitzt, kann man jede invertierbare Garbe ausgehend von der Strukturgarbe durch eine endliche Hinzu- oder Wegnahme von Punkten erhalten. Daher gilt die Formel für alle invertierbaren Garben.

Zur bewiesenen Aussage