Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 4

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Aufgabe

Es seien und Garben auf dem topologischen Raum . Zeige, dass durch mit den natürlichen Produktabbildungen eine Garbe auf gegeben ist.


Aufgabe

Es sei eine Garbe auf einem nicht zusammenhängenden Raum mit einer Zerlegung in disjunkte nichtleere offene Mengen. Zeige .


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum mit einer Zerlegung in disjunkte offene nichtleere Teilmengen. Es sei eine Garbe auf und eine Garbe auf . Zeige, dass durch

für eine Garbe auf definiert ist.


Aufgabe

Es sei ein Hausdorffraum mit zumindest zwei Punkten und es sei . eine Menge. Zeige, dass die konstante Prägarbe zu keine Garbe ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Einschränkung einer Garbe auf eine offene Teilmenge eine Garbe ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Halm der Garbe der holomorphen Funktionen in gleich dem Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen ist.


Aufgabe

Es sei ein Garbenmorphismus zwischen Garben auf einem topologischen Raum und es sei surjektiv für jede offene Menge . Zeige, dass dann auch jede Halmabbildung surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine Garbe von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum . Zeige , also die triviale Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, ein Punkt und eine kommutative Gruppe. Wir betrachten die Zuordnung

mit den naheliegenden Restriktionsabbildungen zu offenen Teilmengen .

  1. Zeige, dass eine Garbe von kommutativen Gruppen ist.
  2. Bestimme den Halm von im Punkt .
  3. Es sei nun ein abgeschlossener Punkt. Besitmme die Halm für jeden Punkt .


Die in der vorstehenden Aufgabe konstruierte Garbe nennt man Wolkenkratzergarbe (zu im Punkt ).


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